FYZIKÁLNY MODEL MERAČA TEPELNÉHO TOKU 
PHYSICAL MODEL OF MEASUREMENT HEAT FLUX

Autor:  F. Sekula , S. Grexová, katedra dobyvania lozisk a geotechniky
              Fakulta BERG, Technická univerzita Košice

E mail: lov@pobox.sk

Abstrakt

The article is oriented of measurement heat flow in laboratory. The measurement of heat flow in earth surface isn´t possible. The heat flow measuremented by means of thermal conductivity or measurements temperature in different deepth. 

Článek pojednává o laboratorních pokusech s novým způsobem měření zemského tepelného toku. Zjišťovat zemský tepelný tok přímým měřením na zemském povrchu není možné. Dosavadní metody vyžadují změření tepelné vodivosti hornin a měření teploty ve dvou místech zvoleného hloubkového intervalu. Nově vyvíjený způsob měření zemského tepelného toku nebude tyto komplikované postupy vyžadovat. Je založen na měření plynulého nárůstu teploty měděného válce, uloženého na dno průzkumného vrtu.

Obsah:

 kapitola
 

Úvod

Teoretické základy navrhovaného merania tepelného toku

Fyzikálny model

Zhotovenie merača tepelného toku (akumulátor)

Kalibrácia navrhovaných čidiel pre meranie teploty

Meranie tepelného toku

Výsledky merania

Analýza výsledkov merania a záver

Použitá literatúra

Úvod 

Meranie tepelného toku Zeme priamo na zemskom povrchu nie je možné uskutočniť. Príčinou je skutočnosť, že povrch Zeme je okrem tepelného toku z vnútra Zeme veľmi silne ovplyvnený energetickou bilanciou atmosféry zemského povrchu, kde dopadá slnečné žiarenie, ktoré je nerovnomerne rozložené od severného, južného pólu až po rovník. Okrem toho rôzne časti zemského povrchu pohlcujú respektíve odrazia značnú časť slnečnej energie na kontinentoch a na vodných plochách svetových oceánov. K tomu sa pridružuje aj výparné teplo spotrebované v povrchových oblastiach oceánov. Na základe tejto skutočnosti sú extrémne rozdiely v rôznych miestach zemegule, kde vzdušná masa má obrovskú diverzifikáciu akumulovanej teploty voči absolútnej nule Kelvinovej stupnice teploty, respektíve voči nule Celsiovej stupnice, ktorá je odvodená od bodu mrazu. Okrem tejto skutočnosti dochádza aj k obrovskému pohybu vzdušných más medzi jednotlivými oblasťami zemskej atmosféry nad povrchom Zeme v dôsledku uvedenej diverzifikácie. Keď si zoberieme hrubý odhad rozdielu priemerných teplôt povrchu Zeme na severnom a južnom póle a v rovníkovej oblasti (asi 100 K) tak je jasné, že tieto tepelné toky nemôžu byť exaktne merané na povrchu Zeme. Samozrejme rozdiely sa budú meniť aj v jednotlivých ročných obdobiach. V našich zemepisných šírkach tieto rozdiely v extrémnych prípadoch môžu mať hodnoty 40-60 K. Problém je aj v tom, že pre inhomogenitu schladzovania zemského povrchu respektíve jeho tesných podpovrchových oblastí (zamŕzanie zemskej kôry až do extrémnej hĺbky 1m) je potrebné vedieť stanoviť takú relatívnu hĺbku, kde atmosférický vplyv už nebude znižovať hodnotu tepelného toku. Doterajšie merania tepelného toku spočívali v meraní tepelnej vodivosti horniny a merania teploty na dvoch miestach zvoleného hĺbkového intervalu. Nami navrhnutý spôsob merania tepelného toku spočíva vo vylúčení potreby merania pomocou doterajších spôsobov merania.

Obsah    K záhlaví    Odborné články    Geologické informační centrum

Teoretické základy navrhovaného merania tepelného toku 

Medený valček umiestnený na čelbe vrtu funguje ako akumulátor teploty, ktorá do neho vchádza vplyvom tepelného toku zemskej kôry. Akumulátor nie je schopný akumulovať celé množstvo energie vplyvom odvodu tepla cez vazelínovú a izolačnú vrstvu do vôd stekajúcich z vyšších častí horninového masívu ako aj odvodom tepla z tepelného akumulátora do okolia horniny. Tento bočný tepelný tok vychádzajúci z vazelíny vznikne v dôsledku vyššej tepelnej vodivosti vazelíny oproti okolitému horninovému masívu a vyššej tepelnej vodivosti akumulátora a teda musí vzniknúť teplotný spád medzi vazelínovým súvrstvým ako aj akumulátorovým valčekom a horninovým masívom. Keby k týmto uvedeným stratám nedochádzalo, teplota v tepelnom akumulátore by narastala lineárne s časom. Množstvo tepla, ktoré by sa malo naakumulovať v medenom valčeku sa dá vyjadriť vzťahom (1).

Qc = m . cp . (T2 - T1)

[J]

(1)

kde 
Qc - celkové množstvo, ktoré by sa malo naakumulovať v tepelnom akumulátore v závislosti na čase pri teoretickom lineárnom narastaní teploty
T2 [J] 
m - hmotnosť medeného akumulátora [kg] 
T2 - narastajúca teplota akumulátora v závislosti na čase [K] 
T1 - počiatočná teplota akumulátora pred začatím merania [K] 
cp - merné špecifické teplo [J . kg-1 . K-1] 
dT = (T2 - T1) - rozdiely teplôt v akumulátore vo zvolenom časovom intervale ( 0 - ti ) 

Pretože rozdiel teplôt nebude lineárne narastať kvôli uvedeným stratám, môžeme hypoteticky predpokladať, že nárast bude prebiehať podľa krivky v čase blížiacom sa v nekonečnu k asymptote. Skutočný rozdiel teplôt dTc a celkovo akumulované teplo v akumulátore Qc sa dá určiť pomocou dotyčnice v nule uvedených funkcií a zvolenom časovom intervale (0 - ti). Pozri schematický obrázok č.1. Keby sa vynášali skutočné funkčné hodnoty Q a dT funkcie budú mať rovnaký priebeh len budú mať iné konštanty. Rovnaký priebeh ako je znázornený na schematickom obrázku č.1 môžeme dosiahnuť upravenými mierkami. 

Obrázok č.1 Grafické zobrazenie akumulácie tepla. 

Dá sa dokázať, že pomocou tepelného toku možno tiež vyjadriť celkové množstvo energie, ktoré vojde do akumulátora vo zvolenom časovom intervale. Uvedený vzťah pre výpočet tepelného toku (2) sa môže ďalej rozpísať.

q = (λ . (T2 -T1) / l

[W . m-2]

(2)

kde 
λ - je tepelná vodivosť [W . m-1 . K-1]
T1 - teplota na rozhraní akumulátora a horniny [K]
T2 - teplota na rozhraní akumulátora a vrstvy mazacieho tuku (vazelíny) [K]
l - vzdialenosť medzi rozhraniami [m] 

Teplota T2 bude mať opäť hypoteticky vyššiu hodnotu ako skutočnú, pretože táto hodnota bude takisto narastať po krivke ako skutočná hodnota tepla znázornená na obrázku (1). V navrhovanom merači v skutočnosti hodnoty teplôt T1 a T2 nemeriame. Meriame len priemernú hodnotu teploty tepelného akumulátora, ktorá sa relatívne rýchle stabilizuje vzhľadom na dobrú tepelnú vodivosť medi. Hodnotu celkovej tepelnej energie možno potom vyrátať pomocou vzťahu (3).

Qc = q . S . t

[J]

(3)

kde
q - tepelný tok [W . m-2] 
S - spodná plocha, ktorá je v dotyku s horninou [m2] 
t - zvolený časový interval [s] 

Pretože teploty T1 a T2 nemeriame, vzťahy (1) a (2) sú uvedené len kvôli hypotetickému dôkazu fyzikálnej opodstatnenosti predpokladaných úvah o akumulácii tepla v navrhovanom merači.

Obsah    K záhlaví    Odborné články    Geologické informační centrum

Fyzikálny model 

Pre pokus bola vybraná vzorka kameňa, ktorú poskytla Slovenská akadémia vied (SAV) v Košiciach. Komplexný model sa skladá z nasledujúcich častí: 

  • kamenná vzorka, ktorá nahrádzala horninové prostredie okolia vrtu (obr.2) 
  • vykurovací systém pomocou ktorého sa imitoval tepelný tok 
  • izolačná skriňa, slúžiaca k udržaniu stabilných podmienok aj pri meniacich sa vonkajších vplyvoch prostredia 
  • prvky slúžiace k teplotnej stabilizácii kamennej vzorky (termostat, zdroj napätia, žiarovky, elektrické vodiče) a jeho bezprostredného okolia 
  • medený valček (akumulátor), v ktorom som umiestnil tri teplotné čidlá slúžiace na zachytenie tepelného toku vo vzorke kameňa 
  • elektronické zariadenia, ktoré boli potrebné pri snímaní, prevode a štandardizácii signálu, ktorého hodnota predstavovala teplotný gradient
  • obslužný program (Borland Delphi), slúžiaci pri komunikácii medzi meracím zariadením a obsluhou počítača 

Obrázok č. 2 Opracovanie kamennej vzorky. 

Zhotovenie merača tepelného toku (akumulátor). 

Akumulátor tepla (obr. 3) pozostáva z medeného valčeka o priemeru  120 mm a hrúbke 6,5 mm. Medený materiál je vybraný na základe jeho veľmi dobrej tepelnej vodivosti. Pokiaľ horniny dosahujú tepelnú vodivosť 1 - 3 W.m-1.K-1, meď má hodnotu tepelnej vodivosti 386 W.m-1.K-1. Medený valček (akumulátor) je po obvode obalený izolačnou páskou, aby sa zamedzilo nežiadúcemu šíreniu tepelného toku do okolia. Potom sú v rovnakej vzdialenosti od obvodu a jeho osi zavŕtané vrtákom priemeru 4,5 mm do hĺbky 5 mm tri prehĺbenia, ktoré sú od seba rovnako vzdialené. Tieto zavŕtania boli dané rozmermi použitých tepelných čidiel. Ďalšou dôležitou časťou merača tepelného toku je pórovité igelitové vrecúško, ktoré je naplnené plastickým mazivom (vazelína), jeho funkcia je ako už bolo uvedené na zabránenie vniknutiu vôd k povrchu akumulátora. Tento faktor neplní v našom modeli významnú rolu ale imituje podmienky, ktoré budeme dodržiavať pri meraní v prírode v reálnom vrte, aby sme zabránili prienikom vôd zo steny celého vrtu k meraču tepelného toku. 

Obrázok 3: Akumulátor tepla 

Pre samotné meranie tepelného toku bol vyhotovený obslužný program merania v programovacom jazyku Borland Delphi 3.0. Základom spracovateľského programu je databáza. Datábazu tvorí prepojenie množstva tabuliek a ich vlastností, pričom jej obsahom je celá rada nameraných dát. Úlohou databázového systému je rýchla možnosť práce s nameranými dátami. Obsah a význam jednotlivých tabuliek databázy je podrobne uvedený v nasledujúcej tabuľke.

NÁZOV TABUĽKY POPIS 
Meranie.DB obsahuje základné údaje popisujúce jednotlivé merania
 Data.DB obsahuje všetky namerané dáta
FilterData.DB obsahuje dáta, ktoré prešli filtráciou
Kalibracia.DB obsahuje dáta poslednej kalibrácie teplotného čidla pre meranie teploty akumulátora
Kalibracia2.DB obsahuje dáta poslednej kalibrácie teplotného čidla pre meranie teploty prostredia 

Tabuľka 1: Zoznam tabuliek databázy 

Všetky tabuľky sa nachádzajú v adresári Data. Priebeh merania je zobrazený v Data - flow diagrame. (obr. 4). Tok dát v snímacom programe prebieha v troch fázach. V prvej fáze "Vstup dát" sa údaje o teplote v snímači prenášajú pomocou A/D (analog / digital) prevodníka na sériový port počitača. Po príjme dát počítačom začína fáza "Spracovanie", kde sa získané údaje ukladajú do databázy. Lineárne s fázou spracovanie môže prebiehať aj fáza "Výstup dát", ktorá dáva užívateľovi možnosť prezrieť si namerané dáta počas merania ako aj po jeho skončení v tabuľkovej alebo grafickej podobe (viď. obr. 7). 

obrázok č.4: Data - Flow diagram. 

Obslužný program bol zhotovený výlučne pre prácu s vyššie navrhovanými čidlami. Program komunikuje cez sériový port COM 2 s navrhovanými obvodmi meračov teploty a spúšťa sa spustením súboru Meranie.exe. Prostredníctvom programu počítač vyšle krátky impulz, ktorý aktivuje obvod merania. Ten spätne vráti impulz závislý od teploty a prostredníctvom programu sa odmeria jeho dĺžka. Dĺžka impulzu sa prepočíta na základe kalibračných hodnôt čoho výsledkom bude reálna teplota.

Obsah    K záhlaví    Odborné články    Geologické informační centrum

Kalibrácia navrhovaných čidiel pre meranie teploty. 

Keďže výstupom navrhovaného zariadenia pre meranie teploty je impulz, ktorého dĺžka závisí od ohriatia teplotného čidla, bolo potrebné zistiť závislosti medzi meranou teplotou a dĺžkou impulzu. Obslužný program, ktorý spolupracuje s teplotnými čidlami je závislý na rýchlosti počítača. Preto bolo nutné pristúpiť ku kalibrácii. K dispozícii bol presný digitálny teplomer a vybavenie laboratória. Kalibráciu bolo nutné previesť pri teplotách 0°C, 10°C, 20°C, 30°C, 40°C a 50°C. Prostredníctvom programu pre kalibráciu bola zapísaná hodnota dĺžky výstupného impulzu do databázy programu. Týmto postupom sú okalibrované obe teplotné čidlá pri teplote 0°C. Postup sa opakoval pri zvolených teplotách média a vyplnili sa všetky potrebné položky kalibračných tabuliek databázy. 

      

Obrázok č.5: Výsledky kalibrácií teplotných čidiel a akumulátora tepla 

Obrázok č.6: Umiestnenie teplotných čidiel v rámci experimentálnych meraní. 

Ako je zrejmé z obrázku 5, čidlo pre meranie teploty prostredia sa nachádzalo v prostredí šachtovej jamy lisu a čidlá akumulátora spolu s čidlom termostatu sa nachádzali v izolačnej skrini fyzikálneho modelu. Samotné meranie sa spustil o 12:32 a trvalo 93 hodín. Výsledok merania je zobrazený na grafe č.1 

Z grafu je možné vyčítať teplotné priebehy v izolačnej skrini a v montážnej jame lisu. Týmto meraním sú sledované priebehy teploty vo všetkých priestoroch meracej sústavy t.j. v montážnej šachtovej jame, priestore v izolačnej skrini a samotnou vzorkou horniny za izolačnými vrstvami a vedieť presne nastaviť hodnotu teploty pre spínanie termostatu. 

graf 1: Teplotný priebeh v experimentálnej fáze. 

Ďalej bolo potrebné dosiahnuť nastavenie teploty vo vnútri modelu zhruba o 0,7°C vyššiu ako je teplota bezprostredného okolia modelu. Tento teplotný gradient je potrebný pre funkčnosť termostatu, pretože jeho snahou je udržať teplotu v izolačnej skrini na konštantnej hodnote a to je možné len pri vyššej teplote ako je teplota okolia. Z grafu je možné vyčítať teplotný rozdiel medzi modelom a okolím, ktorého hodnota predstavuje cca 1,2°C. Keďže teplotný rozdiel bol vyšší ako sme uvažovali, tak sa pristúpilo k jeho zníženiu a to znížením nastavenia teploty potenciometrom termostatu. 

graf č.2: Výsledný priebeh merania teplôt . 

Graf znázorňuje teplotné priebehy v izolačnej skrini a v kamennej vzorke. Z teplotného priebehu je odčítaná minimálna a maximálna hodnota teploty, na ktorú takto nastavený termostat zapína a vypína vykurovacie žiarovky čím udržiava teplotu modelu v danom teplotnom rozmedzí. Vplyvom zníženia vykurovacieho výkonu stabilizačných žiaroviek teplota v modely klesla na priemernú hodnotu 20,5°C, čím je dosiahnutý požadovaný teplotný gradient medzi okolím teda montážnou jamou lisu a prostredia vo vnútri izolačnej skrine.

Obsah    K záhlaví    Odborné články    Geologické informační centrum

Meranie tepelného toku. 

Program Meranie exe je zhotovený pre 32 - bitovú platformu Windows. V programe si užívateľ ľubovoľne zadá interval meranie, pričom program do hlavičky merania doplní poradové číslo merania, dátum merania a čas začiatku merania. Takto je každé meranie jednoznačne identifikovateľné. Meranie sa spúšťa stlačením tlačidla zapnúť. V dolnej časti sa nachádzajú grafy zobrazujúce aktuálny priebeh merania dát. (viď obr. 7) Ďalšou fázou priebehu merania bola určená miera vystabilizovania teploty v kamennej vzorke. Cieľom merania bolo určiť prúdenie tepelných tokov v kamennej vzorke. Hlavnou požiadavkou merania tepelného toku je fakt, aby kamenná vzorka nevyžarovala a neprijímala teplo z okolia. Čo znamená, že tepelné toky vzorky voči bezprostrednému okoliu sú minimálne. Meranie bolo spustené dňa 17.4.2000 v čase 17:18 a trvalo 40 hodín. Výsledok merania je zobrazený v ľavej časti grafu na grafe 3. Stabilizácia teploty vo valčeku začala po 20 hodinách a teplota sa tiež nemenila v rozsahu 20 hodín. Až po týchto procesoch (po vystabilizovaní teploty v kamennej vzorke) sme mohli pristúpiť k vyvolaniu tepelného toku vykurovaním vo vykurovacej sústave z transformátorových plechov. Samotné meranie tepelného toku bolo spustené 19.4.2000 o 9:14 a trvalo 86 hodín. Jednotlivé priebehy merania teplôt po vystabilizovaní kamennej vzorky a priebeh merania v obslužnom programe je zobrazený na obr. 7. 

Obrázok č.7: Priebeh merania teplôt po stabilizácii

Obsah    K záhlaví    Odborné články    Geologické informační centrum

Výsledky merania 

Výsledný priebeh teploty akumulátora je znázornený na grafe č.3. Prvá časť grafu znázorňuje vystabilizovanie teploty vzorky kameňa na hodnotu 20,13°C. V druhej časti je znázornený nárast teploty v dôsledku vykurovania vykurovacou sústavou. Tento nárast teploty sa javí ako lineárny, preto je týmito bodmi preložená regresná priamku. Táto linearizačná priamku je vypočítaná pomocou metódy najmenších štvorcov. Pre nedostatok času je zachytený iba tento lineárny nárast, ale v skutočnosti by sa táto funkcia mala postupne zakrivovať a blížiť sa k asymptote, ktorá predstavovala najvyššie možne prijatú zmenu teploty. V tomto prípade sa mohla použiť táto lineárna metóda, pri zakrivovaní krivky by sa musela použiť niektorá z nelineárnych metód vyššieho radu. Pri zostrojovaní grafov sa z celkového množstva vzorkovaných 7506 dát vypočítalo pomocou aritmetického priemeru hodnoty, ktoré zodpovedali časovému intervalu jednej hodiny. V rámci jednej hodiny boli teda spriemerované hodnoty 60 vzoriek, ktoré predstavujú vynesené body počas tepelnej stabilizácie a meraní tepelného toku. Hodnoty regresnej priamky vypočítané programom Excel pomocou nástroja analýzy dát sú zobrazené v tabuľke č.2. a tabuľke č. 3.

Regresná štatistika  
Násobné R 0,992365627
Hodnota spoľahlivosti R  0,984789537
Nastavená hodnota spoľahlivosti R 0,98460846
Chyba strednej hodnoty 0,027499754

Tabuľka č.2: Štatistické dáta vytvorené programom Excel. 

graf 3: Výsledný priebeh merania tepelného toku. 

Meranie tepelného toku začalo po 40 hodinách, ktoré možno stotožniť s počiatkom merania a teda aj s časom 0 hodín. Keď si zoberieme čas 60 hodín respektíve 20 hodín času merania a odčítame z lineárnej závislosti hodnoty tepelného nárastu dostaneme ΔT = dT = (T2 - T1) = 0,167 °C. Hodnoty sú uvedené z tabuľkových hodnôt regresnej priamky (Pozri tabuľku č.2). Pri čase 120 hodín respektíve 80 hodín času merania dostaneme dT = 0,695 °C. Keď vypočítame hodnoty naakumulovaného množstva energie Qc z uvedených údajov pomocou vzťahu (1) dostaneme hodnoty: 

Qc (20) = 0,042 kJ 

Qc (80) = 0,178 kJ 

Vyjadrenie tepelného toku môžeme dostať, keď celkové množstvo energie vydelíme plochou akumulátorového valčeka a zvolenými časmi odčítaných teplôt. 

q = Qc / S . t

 (4)

kde 
S - plocha akumulátorového valčeka 
t - zvolený čas odčítania teploty 

potom 

q (20) = 0,06 W m-2 
q (80) = 0,06 W m-2 

Rovnakú konštantnú hodnotu dostaneme pri ľubovoľnom časovom intervale.

Obsah    K záhlaví    Odborné články    Geologické informační centrum

Analýza výsledkov merania a záver. 

Výsledky namodelovaného a nameraného toku ukazujú, že je možné namerať o polovicu nižšiu hodnotu tepelného toku aký sa udáva v Atlase geotermálnej energie. V našich zemepisných polohách táto hodnota predstavuje cca 130 m W m-2. Tento údaj dokazuje, že pri navrhovaní fyzikálneho modelu sa nám podarilo priblížiť k realite v oblasti citlivosti meracích a regulačných čidiel. Avšak veľmi nízka hodnota nameraného tepelného toku vo vzťahu k citlivosti indikátorov teploty v akumulátorovom valčeku zapríčinili, že sme boli v úplnom počiatku krivky znázornenej na grafe 3 napriek 86 hodinám čistého merania. To znamená, že lineárnu regresnú priamku môžeme stotožniť s dotyčnicou v nulovom bode spomínanej krivky na obrázku č.1. Týmto stotožnením sa nedopustíme tak veľkej chyby akej sa musíme dopustiť pri meraní teplôt v dvoch rôznych hĺbkach prostredníctvom tepelného média, ktorú predstavuje voda. Ďalšia skutočnosť, ktorú treba komentovať je fakt, že Joulové teplo ktoré vznikalo vo vykurovacom systéme transformátorových pásikov pod vzorkou by malo vyvolať tepelný tok 2,25 W.m-2 Tento tok však bol v modeli dvojsmerný. Neprebiehal len smerom cez vzorku, ale aj do silónovej vrstvy a do izolácie pod ňou. Hrúbka silónovej a izolačnej vrstvy predstavovala len 50 mm. Tepelný akumulátorový valček vo vzorke bol však vzdialený 175 mm od vykurovacieho systému. Aj keď sa nemerala tepelná vodivosť vzorky a silonovej vrstvy ako aj polystyrénového izolátora je vysoko pravdepodobné že niekoľko násobne viac tepelnej energie prúdilo smerom nadol do šachtovej jamy, pretože hrúbky stien pre prestup tepla boli viac ako 3 násobné ako to vyplýva zo vzťahu 4. Na základe toho musel byť aj tepelný tok 3 až 4 násobne vyšší smerom dole mimo vzorky horniny. Časť tejto vykurovacej tepelnej energie sa strácala aj cez izolačné polystyrénové vrstvy do bezprostredného okolia v izolačnej skrini. Z uvedených výsledkov vyplýva, že pri citlivosti meracích snímačov by bolo potrebné merať minimálne trojnásobne dlhší čas. Ďalšou možnosťou bolo zvýšenie citlivosti meracích reťazcov, ale v tomto prípade boli tak isto prekážkou hore uvedené problémy. Pre budúce pokračovanie v oblasti fyzikálneho modelovania tohto problému navrhujeme, aby meracie reťazce boli viac citlivé t.j. aspoň o jeden poriadok vyššie a čas merania toku by sa mal priblížiť k takej hodnote aby sa dalo zachytiť zakrivenie nárastu teploty v meracom akumulátorovom valčeku. Izolačné polystyrénové vrstvy izolačnej skrini na vzorkách horniny musia byť aspoň päť - násobne hrubšie ako boli použité. Silónová vrstva spolu s polystyrénovou vrstvou musí dosahovať aspoň takú hrúbku ako je vzdialený valček od vykurovacieho telesa. Po zdokonalení modelu a ďalšieho kratšieho výskumu na ňom by už bolo možné merať priamo v reálnych vrtoch v prírodných podmienkach. 

Použitá literatúra:

[1] Rybár, P., Sasvári, T.: Zem a zemské zdroje, Vydavateľstvo Štroffek, Košice, 1998, s. 10 - 19. 
[2] Grexová, S.: Písomná časť rigoróznej skúšky, marec, 1999 
[3] Kraus, I., Číčel, B.: Mineralógia a geológia, Vydavateľstvo Alfa, 1988, s. 15 - 19. 
[4] Súkeník, R.: Diplomová práca 2000

Copyright © 2001 F. Sekula , S. Grexová .
All rights reserved.

Zpět na odborné články